Íosluchtaigh turas go dtí an domhan unreal na matamaitice

Scríobh mé an t-alt seo Dé Céadaoin amháin tar éis léachta agus cleachtadh ag coláiste ríomheolaíocht. Déanaim mé féin a chosaint ar cháineadh scoláirí na scoile seo, a gcuid eolais, a ndearcadh i leith na heolaíochta agus is tábhachtaí: scileanna foghlama. Seo... ní mhúineann éinne iad.

Cén fáth a bhfuil mé chomh cosantach sin? Ar chúis shimplí - tá mé ag aois nuair, is dócha, nach dtuigtear go fóill an domhan thart orm. B’fhéidir go múinfinn dóibh conas leas a bhaint as capaill agus gan leas a bhaint astu, seachas carr a thiomáint? B'fhéidir go múinfinn dóibh scríobh le peann cuileann? Cé go bhfuil tuairim níos fearr agam faoin duine, creidim go “leanaim”, ach...

Go dtí le déanaí, sa scoil ard labhair siad faoi uimhreacha casta. Agus is ar an gCéadaoin seo a tháinig mé abhaile, scor - ní raibh beagnach aon cheann de na mic léinn tar éis a fhoghlaim go fóill cad a bhí ann agus conas na huimhreacha seo a úsáid. Féachann daoine áirithe ar an matamaitic go léir mar ghé ag doras péinteáilte. Ach bhí ionadh ó chroí orm freisin nuair a d’inis siad dom conas foghlaim. Go simplí, is é gach uair an chloig léachta dhá uair an chloig de staidéar sa bhaile: léamh téacsleabhar, oiliúint tosaigh i réiteach fadhbanna ar ábhar ar leith, etc. Tar éis dúinn a bheith ullmhaithe ar an mbealach seo, tagann muid chuig na cleachtaí, áit a gcuirimid feabhas ar gach rud... Go taitneamhach, shíl na mic léinn de réir dealraimh go dtugann suí ag léacht - ag féachaint amach an fhuinneog go minic - ráthaíocht cheana féin go dtiocfaidh eolas isteach sa cheann.

Stop! Is leor sin. Déanfaidh mé cur síos ar mo fhreagra ar cheist a fuair mé le linn ranga le comhaltaí ó Chiste Náisiúnta na Leanaí, institiúid a thacaíonn le páistí cumasacha ó gach cearn den tír. Ba í an cheist (nó an moladh) ná:

— Не могли бы вы рассказать нам что-нибудь о нереальных числах?

"Ar ndóigh," d'fhreagair mé. 

Réaltacht na n-uimhreacha

“Is mise cara eile, is é cairdeas an cóimheas idir na huimhreacha 220 agus 284,” a dúirt Pythagoras. Is é an pointe atá anseo ná gurb ionann suim roinnteoirí na huimhreach 220 agus 284, agus suim roinnteoirí na huimhreach 284 cothrom le 220:

1+2+4+71+142=220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Tabhair faoi deara dála an scéil gur thug an Bhíobla Jacob Esau 220 caora agus reithe mar chomhartha cairdeas (Geineasas 32:14).

Comhtharlú suimiúil eile idir na huimhreacha 220 agus 284 is ea é seo: is iad na seacht bpríomhuimhir déag is airde ná 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, agus 59 .

Их сумма 2×220, а сумма квадратов 59×284.

Ar dtús. Níl aon choincheap “fíoruimhir”. Tá sé cosúil le tar éis alt a léamh faoi elephants iarrann tú, "Anois, táimid ag dul a iarraidh ar neamh-elephants." Tá iomlán agus neamhiomlán, réasúnach agus neamhréasúnach, ach níl aon cinn neamhréadúil ann. Go sonrach: ní thugtar neamhbhailí ar uimhreacha nach bhfuil fíor. Tá go leor cineálacha “uimhreacha” sa mhatamaitic, agus tá siad chomh difriúil óna chéile agus atá—chun comparáid zó-eolaíoch a dhéanamh—eilifint agus péist talún.

Ar an dara dul síos, déanfaimid oibríochtaí a bhféadfadh a fhios agat cheana féin go bhfuil siad toirmiscthe: fréamhacha cearnacha de uimhreacha diúltacha a ghlacadh. Bhuel, sáróidh an mhatamaitic bacainní dá leithéid. An bhfuil ciall leis seo áfach? Sa mhatamaitic, mar atá in aon eolaíocht eile: braitheann cibé an rachaidh teoiric isteach go deo i stór an eolais... ar a cur i bhfeidhm. Má tá sé useless, ansin chríochnaíonn sé suas sa bhruscar, ansin i roinnt bruscar i stair an eolais. Gan na huimhreacha a labhair mé faoi ag deireadh an ailt seo, tá sé dodhéanta an mhatamaitic a fhorbairt. Ach déanaimis tosú le roinnt rudaí beaga. Tá a fhios agat cad iad na fíoruimhreacha. Líonann siad an uimhirlíne go docht agus gan bearnaí. Tá a fhios agat freisin cad iad na huimhreacha aiceanta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ní bheidh siad ar fad oiriúnach isteach cuimhne fiú an ceann is mó. Tá ainm álainn acu freisin: nádúrtha. Tá an oiread sin airíonna suimiúla acu. Conas is maith leat é seo:

1+15+42+98+123+179+206+220=3+11+46+92+129+175+210+218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Tá sé nádúrtha suim a bheith agat sna huimhreacha aiceanta,” a dúirt Carl Lindenholm, agus dúirt Leopold Kronecker (1823–1891) go gonta: “Dia a chruthaigh na huimhreacha aiceanta – is obair an duine gach rud eile!” Tá airíonna iontacha ag codáin (ar a dtugtar uimhreacha réasúnacha ag matamaiticeoirí) freisin:

и в равенстве:

is féidir leat, ag tosú ón taobh clé, na buntáistí a chuimilt agus comharthaí iolraithe a chur ina n-ionad - agus fanfaidh an comhionannas fíor:

Agus mar sin de.

Mar is eol, maidir le codáin a/b, áit ar slánuimhreacha iad a agus b agus b ≠ 0, deir siad uimhir réasúnach. Ach is i bPolainnis amháin a thugann siad orthu féin. Labhraíonn siad Béarla, Fraincis, Gearmáinis agus Rúisis. uimhir réasúnach. I mBéarla: uimhreacha réasúnach. Uimhreacha neamhréasúnach Tá sé neamhréasúnach, neamhréasúnach. Labhraímid freisin sa Pholainnis faoi theoiricí, smaointe agus gníomhais neamhréasúnach - is buile, samhailteach, domhínithe é seo. Deir siad go bhfuil eagla ar mhná roimh lucha - cé chomh neamhréasúnach é sin?

I am ársa, bhí anam ag uimhreacha. Bhí rud éigin i gceist le gach ceann acu, bhí gach ceann ina shiombail ar rud éigin, léirigh gach ceann acu cáithnín den chomhréiteach sin de chuid na Cruinne, is é sin, sa Ghréigis, an Cosmos. Ciallaíonn an focal "cosmos" féin "ordú, ordú." Ba iad na cinn ba thábhachtaí seisear (an uimhir fhoirfe) agus deich, suim na n-uimhreacha as a chéile 1+2+3+4, déanta suas d’uimhreacha eile, a bhfuil a siombalachas tagtha slán go dtí an lá inniu. Mar sin mhúin Pythagoras gurb iad na huimhreacha tús agus foinse gach rud, agus gan ach an fionnachtain uimhreacha neamhréasúnach d'iompaigh gluaiseacht Phíotagaráis i dtreo na céimseata. Tá a fhios againn an réasúnaíocht ón scoil go

√2 - uimhir neamhréasúnach

Oir is dócha go bhfuil: agus nach féidir an codán seo a laghdú. Go háirithe, tá p agus q corr. Déanaimis é a chearnóg: 2q²=p². Ní féidir leis an uimhir p a bheith corr, mar sin p² bheadh ​​freisin, agus ar thaobh na láimhe clé den chomhionannas tá iolra de 2. Uaidh sin, tá p cothrom, i.e., p = 2r, mar sin p²= 4r². Laghdaímid an chothromóid 2q²= 4r² le 2. gheobhaimid q²= 2r² agus feicimid go gcaithfidh q a bheith cothrom freisin, agus ghlacamar leis nach raibh. Críochnaíonn an contrártha mar thoradh air an cruthúnas – is minic a bhíonn an fhoirmle seo le fáil i ngach leabhar matamaitice. Is é an cruthúnas indíreach seo teicníocht is fearr leat na sophists.

Níorbh fhéidir leis na Pythagoreans an ollmhóracht seo a thuiscint. Ní mór gach rud a bheith in ann cur síos a dhéanamh de réir uimhreacha, agus níl aon fhad ag trasnán cearnóg, ar féidir le duine ar bith a tharraingt le bata sa ghaineamh, is é sin, intomhaiste, fad. “Ní raibh ár gcreideamh in éag,” is cosúil go ndeir muintir na bPíotagarach. Conas mar sin? Tá sé cineál ... neamhréasúnach. Rinne an tAontas iarracht é féin a shábháil trí mhodhanna seicteach. Aon duine a dares a nochtadh go bhfuil siad ann uimhreacha neamhréasúnach, a phionósú chun báis, agus, de réir dealraimh, ba é an máistir féin a rinne an chéad abairt.

Но «мысль прошла невредимой». Наступил золотой век. Греки победили персов (Марафон 490, Плахе 479). Укрепилась демократия, возникли новые центры философской мысли и новые школы. Последователи пифагорейства все еще боролись с иррациональными числами. Некоторые проповедовали: мы не постижим этой тайны; мы можем только созерцать это и восхищаться Uncharted. Последние были более прагматичны и не уважали Тайну. В то время появились две мысленные конструкции, позволившие понять иррациональные числа. То, что мы сегодня достаточно хорошо понимаем их, принадлежит Евдоксу (V век до н. э.), и лишь в конце XIX века немецкий математик Рихард Дедекинд дал теории Евдокса должное развитие в соответствии с требованиями строгая математическая логика.

Go leor uimhreacha nó céasadh

An bhféadfá maireachtáil gan uimhreacha? Fiú dá mba rud é, cén sórt saoil a bheadh ​​ann... Bheadh ​​orainn dul go dtí an siopa chun bróga a cheannach le maide, a ndearnamar fad na coise a thomhas roimhe seo. “Ba mhaith liom úlla, ó, seo é!” – thaispeánfaimis díoltóirí ar an margadh. “Cá fhad ó Modlin go Nowy Dwór Mazowiecki”? “Go leor gar!”

Úsáidtear uimhreacha chun tomhas. Bainimid úsáid astu freisin chun go leor coincheapa eile a chur in iúl. Mar shampla, léiríonn scála na léarscáile cé chomh mór is atá limistéar na tíre laghdaithe. Cuireann an scála dhá-le-duine, nó go simplí 2, in iúl go bhfuil rud éigin faoi dhó. Ligean le rá go matamaiticiúil: comhfhreagraíonn gach aonchineálacht d'uimhir - a scála.

An tasc. Rinneamar cóip xeragrafach, ag méadú an íomhá arís agus arís eile. Ansin méadaíodh an blúire méadaithe arís b uair. Cad é an scála méadaithe ginearálta? Freagra: a × b iolraithe faoi b. Ní mór na scálaí seo a iolrú. Freagraíonn an uimhir lúide a haon, -1, do chruinneas amháin atá dírithe, is é sin, rothlú 180 céim. Cén uimhir a fhreagraíonn do rothlú 90 céim? Níl a leithéid de líon ann. Tá, tá sé ... nó in áit, beidh sé go luath. An bhfuil tú réidh le haghaidh céasadh meabhrach? Bí cróga agus tóg an fhréamh cearnach de lúide a haon. Tá mé ag éisteacht le? Cad nach féidir leat a dhéanamh? Tar éis an tsaoil, dúirt mé leat a bheith cróga. Tarraing amach é! Hey, bhuel, tarraing, tarraing... cabhróidh mé... Anseo: −1 Anois go bhfuil sé againn, déanaimis iarracht é a úsáid... Ar ndóigh, is féidir linn fréamhacha na n-uimhreacha diúltacha go léir a ghlacadh anois, le haghaidh sampla.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- “beag beann ar an gcruachás meabhrach atá i gceist leis seo.” Seo é a scríobh Girolamo Cardano sa bhliain 1539, ag iarraidh na deacrachtaí meabhrach a bhain le - mar a tháinig sé go luath ar a dtugtar - a shárú. cainníochtaí samhailfhadú. Shíl sé mar seo...

...An tasc. Roinn 10 ina dhá chuid, a bhfuil a táirge cothrom le 40. Is cuimhin liom ón eipeasóid roimhe seo scríobh sé rud éigin mar seo: Is léir go dodhéanta. Mar sin féin, déanaimis é seo: roinn 10 ina dhá chuid chothroma, gach ceann cothrom le 5. Méadaigh iad - faighimid 25. Ón 25 mar thoradh air seo déanaimid 40 a dhealú, más mian leat, agus faigheann muid -15. Féach anois: Tugann √-15 suimithe agus dealaithe ó 5 táirge 40 duit. Is iad na huimhreacha sin ná 5-√-15 agus 5 + √-15. D’fhíoraigh Cardano an toradh mar seo a leanas:

“Is cuma cén anacair mheabhrach atá i gceist leis seo, méadaigh 5 + √-15 faoi 5-√-15. Faighimid 25 – (-15), atá cothrom le 25 + 15. Mar sin, is é an táirge 40…. Tá sé an-deacair."

Bhuel, cé mhéad atá ann: (1 + √-1) (1-√-1)? A ligean ar iolrú. Cuimhnigh go bhfuil √-1 × √-1 = -1. Go hiontach. Fadhb níos deacra anois: ó a + b√-1 go ab√-1. Cad a tharla? Ar ndóigh, mar seo: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Что в этом интересного? Например, то, что мы умеем разлагать на множители выражения, которых мы «раньше не знали». Формула сокращенного умножения для²-b² is dócha gur cuimhin leat an fhoirmle le haghaidh²+b² níor tharla sé mar ní fhéadfadh sé tarlú. I réimse na réaduimhreacha, an iltéarmach²+b² tá sé seo dosheachanta. Cuirimis “ár” fréamh chearnach de “lúide a haon” in iúl leis an litir i.²= -1. Príomhuimhir “neamhréadúil” í seo. Agus is é seo a chuireann síos ar eitleán ag casadh 90 céim. Cén fáth? Tar éis gach rud,²= -1, agus trí rothlú 90 céim amháin a chomhcheangal le rothlú comhchosúil eile cruthaítear rothlú 180 céim. Cén cineál rothlaithe atá á chur síos? Tá sé soiléir - cas 45 céim. Cad is brí leis an uimhir -i? Tá sé beagán níos casta:

(-я)² = -i × (-i) = + i² = -1

Mar sin, déanann -i cur síos freisin ar rothlú 90 céim, díreach sa treo eile le rothlú i. Cé acu ceann atá fágtha agus cé acu atá ceart? Caithfidh tú coinne a dhéanamh. Glacaimid leis go sonraíonn an uimhir i rothlú sa treo a mheasann matamaiticeoirí a bheith dearfach: tuathalach. Déanann an uimhir -i cur síos ar rothlú sa treo ina bhfuil na leideanna ag gluaiseacht.

Ach an bhfuil uimhreacha mar i agus -i ann? An bhfuil! Thugamar ar an saol iad. Tá mé ag éisteacht le? Nach bhfuil siad ann ach inár gceann? Bhuel cad a bheith ag súil leis? Ní bhíonn na huimhreacha eile ar fad ach inár gcuimhne. Ní mór dúinn a fheiceáil an mairfidh ár n-uimhreacha nuabheirthe. Níos cruinne, an bhfuil an dearadh loighciúil agus an mbeidh siad úsáideach do rud éigin? Glac mo bhriathar le do thoil go bhfuil gach rud ceart go leor agus go bhfuil na huimhreacha nua seo iontach cabhrach. Uimhreacha mar 3+i, 5-7i, i bhfoirm níos ginearálta: a+bi a thugtar ar uimhreacha coimpléascacha. Thaispeáin mé duit conas is féidir leat iad a fháil tríd an eitleán a rothlú. Is féidir iad a iontráil ar bhealaí éagsúla: mar phointí eitleáin, mar ilainmneacha áirithe, mar eagair uimhriúla áirithe... agus gach uair a bhíonn siad mar a chéile: cothromóid x² +1=0 элемента нет… фокус-покус и так уже есть!!!! Будем радоваться и радоваться!!!

Deireadh an turais

Críochnaíonn sé seo ár gcéad turas ar thír na n-uimhreacha bréige. As na huimhreacha unearthly eile, luafaidh mé freisin iad siúd a bhfuil gan teorainn go leor digití chun tosaigh agus nach bhfuil taobh thiar (tugtar 10-adic orthu, dúinne tá p-adic níos tábhachtaí, áit a bhfuil p ina uimhir phríomha), mar shampla X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Déanaimis X a chomhaireamh le do thoil². Так как? Что, если мы вычислим квадрат числа, за которым стоит бесконечное количество цифр? Что ж, поступим так же. Узнаем, что Х² = H.

Faighimid uimhir eile dá leithéid le líon gan teorainn na ndigit chun tosaigh a shásaíonn an chothromóid. Leid: Críochnaíonn cearnóg uimhir a chríochnaíonn i sé sé cinn freisin. Críochnaíonn cearnóg na huimhreach a chríochnaíonn le 76 le 76 freisin. Críochnaíonn cearnóg uimhir a chríochnaíonn le 376 freisin le 376. Críochnaíonn cearnóg uimhir a chríochnaíonn i 9376 freisin i 9376. Cearnóg uimhir a chríochnaíonn i XNUMX... Tá uimhreacha chomh beag chomh maith sin, cé go bhfuil siad dearfach, go bhfanann siad níos lú ná aon uimhir dhearfach eile. Tá siad chomh beag bídeach sin uaireanta gur leor iad a chearnógú chun nialas a fháil. Существуют числа, не удовлетворяющие условию a × b = b × a. Есть также бесконечные числа. Сколько существует всех натуральных чисел? Бесконечно много? Да, но сколько? Каким числом это можно выразить? Ответ: наименьшее из бесконечных чисел; он помечен красивой буквой: А и дополнен нулевым индексом А₀ , aleph-nialas.

Tá uimhreacha ann freisin nach eol dúinn a bheith ann... nó gur féidir linn a chreidiúint nó nach gcreideann tú iontu mar is toil leat. Agus ag labhairt faoi: Tá súil agam go dtaitníonn Uimhreacha Neamhréadúla, Uimhreacha Speiceas Fantasy leat fós.